Теоретическое и численное моделирование электрической проводимости пористых сред

Рассмотрена электрическая проводимость двумерной и трехмерной среды при наличии идеально проводящих или изолирующих включений. С использованием известных формул для малых приращений проводимости при внесении в среду одного малого включения получены дифференциальные уравнения для проводимости среды при немалой концентрации включений. Они имеют экспоненциальный характер и не содержат перколяционных порогов. В двумерном случае получены зависимости проводимости от концентрации круговых и квадратных включений. Для трехмерной среды рассмотрены сферические включения, что соответствует возможности моделирования пористых пород. Для проверки полученных результатов в среде COMSOL Multiphysics были построены образцы единичных размеров и с единичной проводимостью, в которые добавлялись включения. Проверялось согласие результатов численных экспериментов с полученными теоретическими зависимостями проводимости двухкомпонентных сред от концентрации включений, а также известными предсказаниями двух моделей – приближения эффективной среды и периодической модели Рэлея, в которой включения расположены в узлах периодической решетки. Проведенные численные эксперименты показали большое преимущество предложенных формул перед формулами, получаемыми с помощью метода эффективной среды. Модель Рэлея и предложенная модель показали хорошее согласие с результатами численных экспериментов вплоть до концентрации вещества включений ~0,3, то есть для всего диапазона значений, для которых еще не близко разрушение образца. В трехмерном случае предложенная модель оказалась точнее модели Рэлея. Кроме того, она значительно проще с точки зрения математических выкладок.

Сизин П. Е. Теоретическое и численное моделирование электрической проводимости пористых сред // Горный информационно-аналитический бюллетень. – 2023. – № 5. – С. 43–56. DOI: 10.25018/0236_1493_2023_5_0_43.

Сизин Павел Евгеньевич — канд. физ.-мат. наук, доцент, ИБО НИТУ «МИСиС», e-mail: mstranger@list.ru, ORCID ID: 0000-0001-8156-4972.

1. Feng P., Zhao J., Dai F., Wei M., Liu B. Mechanical behaviors of conjugate-flawed rocks subjected to coupled static—dynamic compression // Acta Geotechnica. 2022, vol. 17, no. 5, pp. 1767—1784. DOI: 10.1007/s11440-021-01322-6.

2. Соболев Г. А. Основы прогноза землетрясений. — М.: Наука, 1993. — 313 с.

3. Lu J., Jiang C., Jin Z., Wang W., Zhuang W., Yu H. Three-dimensional physical model experiment of mining-induced deformation and failure characteristics of roof and floor in deep underground coal seams // Process Safety and Environmental Protection. 2021, vol. 150, no. 6, pp. 400—415. DOI: 10.1016/j.psep.2021.04.029.

4. Андриевский А. П. Методика расчета оптимальных параметров паспортов буровзрывных работ при проходке с прямым щелевым ярусным врубом // ФТПРПИ. — 1992. — № 5. — С. 71—77.

5. Храмченков М. Г., Королев Э. А. Динамика развития трещин в нефтеносных карбонатных разрезах Республики Татарстан // Нефтяное хозяйство. — 2017. — № 4. — C. 54—57. DOI: 10.24887/0028-2448-2017-4-54-57.

6. Feng P., Dai F., Shuai K., Wei M. Dynamic mechanical behaviors of pre-fractured sandstone with noncoplanar and unparallel flaws // Mechanics of Materials. 2022, vol. 166, no. 6, article 104219. DOI: 10.1016/j.mechmat.2022.104219.

7. Chengzhi Qi, Fa Zhao, Dyskin A. V., Chen Xia, Pasternak E. Crack interaction and fracturing of geomaterials with multiscale cracks // International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences. 2022, vol. 153, no. 5, article 105084. DOI: 10.1016/j.ijrmms.2022.105084.

8. Sudarikov A. E., Merkulova V. A. Specifics of calculating the stability of mine workings when applying drilling and blasting // ARPN Journal of Engineering and Applied Sciences. 2017, no. 12, pp. 6192—6196. DOI: 10.5593/sgem2014/b12/s2.078.

9. Ren S., Han T., Fu L., Yan H. Pressure effects on the anisotropic velocities of rocks with aligned fractures // Acta Geophysica Sinica. 2021, vol. 64, no. 7, pp. 2504—2514. DOI: 10.6038/ cjg2021O0318.

10. Anderson I., Ma J., Wu X., Stow D. Determining reservoir intervals in the Bowland Shale using petrophysics and rock physics models // Geophysical Journal International. 2022, vol. 228, pp. 39—65. DOI: 10.1093/gji/ggab334.

11. Grib N. N., Uzbekov A. N., Imaev V. S., Grib G. V., Abetov A. E. Variations in the geoelectric properties of the rock masses as a result of the seismic effects of industrial explosions // IOP Conference Series: Earth and Environmental Science. 2019, vol. 362, no. 1, article 012120. DOI: 10.1088/1755-1315/362/1/012120.

12. Балагуров Б. Я. О влиянии формы включений на проводимость двумерных моделей композитов // Журнал технической физики. — 2011. — Т. 81. — № 5. — C. 11—17.

13. Bruggeman D. A. G. Berechnung verschiedener physikalischer Konstanten von heterogenen Substanzen. I. Dielektrizitätskonstanten und Leitfähigkeiten der Mischkörper aus isotropen Substanzen // Annalen der Physik. 1935, vol. 416, pp. 636—664. DOI: 10.1002/andp. 19354160802.

14. Landauer R. Conductivity of cold-worked metals // Physical Review. 1951, vol. 82, pp. 520—521. DOI: 10.1103/PhysRev.82.520.

15. Касахара К. Механика землетрясений. — М.: Мир, 1985. — 264 с.

16. Сизин П. Е., Шкуратник В. Л. Теоретическая оценка влияния микротрещиноватости горных пород на их проводимость в приближении Максвелла // Горный информационно-аналитический бюллетень. — 2015. — № 3. — С. 212—218.

17. Жуков В. С. Влияние межзерновой и трещинной пористости на электросопростивление коллекторов чаяндинского месторождения месторождения (Восточная Сибирь) // Геофизические исследования. — 2022. — Т. 23. — № 2. — С. 5 —17. DOI: 10.21455/ gr2022.2-1.

18. Пархоменко Э. И. Электрические свойства горных пород. — М.: Наука, 1965. — 164 с.

19. Aguilera R. Analysis of naturally fractured reservoirs from conventional well log // Journal of Petroleum Technology. 1976, vol. 28, no. 7, pp. 764—772.

20. Вознесенский А. С., Кидима-Мбомби Л. К. Формирование синтетических структур и текстур горных пород при их моделировании в среде COMSOL Multiphysics // Горные науки и технологии. — 2021. — Т. 6. — № 2. — C. 67—72. DOI: 10.17073/2500-0632-20212-65-72.

21. Балагуров Б. Я. Электрофизические свойства композитов: Макроскопическая теория. — М.: URSS, 2018. — 752 с.

22. Балагуров Б. Я. Проводимость двумерной модели Рэлея при критической концентрации — пороге протекания // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 2021. — Т. 159. — № 3. — С. 553—562. DOI: 10.31857/S0044451021030160.

23. Королев Э. А., Ескин А. А., Морозов В. П., Кольчугин А. Н., Плотникова И. Н., Пронин Н. В., Носова Ф. Ф. Зависимость состава и подвижности нефти в карбонатных породах от их пористости и проницаемости // Нефтяное хозяйство. — 2013. — № 6. — С. 32—33.